수학을 공부하지 않은 대부분의 사람들은 수학이 진실의 정적 건물이라고 믿습니다. 일반적인 인식은 수학적 기호가 아이디어를 나타내고, 새로운 아이디어를 만드는 데 사용할 수 있는 논리적 규칙이 있다는 것입니다. 이를 정리 증명이라고 합니다. 사람들은 정리와 그것이 나타내는 아이디어를 예측 가능하고 알려진 세상의 그림으로 봅니다. 대부분의 사람들이 이 더 깊은 지식을 추구하지 못하는 이유는 그것이 정말 어렵기 때문입니다. 그리고 정말 지루하죠?
지난 몇 년 동안 수학에 대한 이러한 정적인 관점은 모델에 대한 의존성으로 나타났습니다. 이는 감염 수와 바이러스가 어떻게 퍼질지 예측하는 것과 같은 실제 수학적 모델이었고, 또한 우리 모두가 어떻게 행동해야 하는지를 지시하는 과학에 전적으로 의존하는 것과 같은 보다 일반적인 정신 모델이었습니다. 격리해야 할까요? 마스크를 써야 할까요? 6피트 거리를 유지해야 할까요?
이 관점은 우리가 추구하는 진실은 근본적으로 합리적이고, 기계적이며, 예측 가능한 자연 세계에 의해 결정된다는 생각을 확고히 견지합니다.
물론, 개인으로서 우리는 진실을 완전히 객관적으로 보는 것을 막는 심리적 한계를 가지고 있습니다. 그의 훌륭한 책에서 12 삶의 규칙 Jordan Peterson은 우리의 지각이 항상 집중되어 있고, 세상이 우리에게 보여주는 것의 대부분을 우리가 놓치는 방식에 대해 논의합니다. 그는 자신의 주장을 증명하기 위해 심리학 연구를 인용하고, 이 관찰이 매우 오래되었으며, 마야 고대 힌두 베다 경전에서.
그래서 우리는 세상의 모든 것을 보는 것을 막는 심리적 제약을 가지고 있으며, 우리의 욕망에 의해 부분적으로 주도되는 좁고 집중된 관점만을 허용합니다. 이것은 과학자와 정책 입안자에게도 마찬가지이며, 다른 추구를 하는 사람들에게도 마찬가지입니다.
물론 과학의 약속은 이 문제를 해결하는 것입니다. 이 방법이 있습니다. 실험을 신중하게 정의하여 이 객관적인 진실을 다른 사람들과 공유하고 주변 세계에 대한 공통된 이해에 도달할 수 있는 방법입니다. 과학의 정점은 이성적 믿음이며, 모델은 객관적 현실의 모든 기초를 형성합니다. 하지만 과학조차도 제공할 수 있는 진실에 한계가 있습니다.
과학을 깊이 파고들면 수학에 도달하게 됩니다. 분명히 이것은 논리적 사고의 기초를 형성하고 수학적 진리는 완전합니다.
대학원에서 수학을 공부하지 않는 한 대부분 사람들이 모르는 것은 수학의 기초 자체가 생각보다 안정적이지 않다는 것과, 무엇을 증명할 수 있고 무엇을 증명할 수 없는지에 대한 생각이 그렇게 딱딱하지 않다는 것입니다. 거의 1세기 전의 수학적 발견은 기계론적 세계관을 뒤흔들었습니다.
20세기가 시작되기 전에 많은 뛰어난 수학자들은 그 기초를 이해하는 데 집중했습니다. 수학자에게 기초는 다른 모든 것의 빌딩 블록 역할을 하는 이해의 아주 기본적인 요소입니다. 기초에서 다른 모든 것이 따릅니다.
이 시기의 논리학자이자 철학자인 버트런드 러셀은 수학자이자 철학자인 앨프리드 노스 화이트헤드와 함께 일하여 첫 번째 원리에서 수학을 구성했습니다. 그들은 함께 몇 가지 기본적인 아이디어와 규칙에서 모든 수학을 생성할 수 있는 방법을 설명하는 거대한 작품을 만들었습니다. 1910년과 1913년 사이에 출판된 XNUMX권짜리 책은 공국 수학.
이 추구의 추상성에 대한 아이디어를 제공하기 위해, 그것은 우리 인간 지각의 근본적인 진실로 시작합니다. 그것은 우리가 본질적으로 한 대상을 다른 대상과 분리하는 방법을 알고 있으며, 그런 다음 그 대상을 그룹화하기 시작할 수 있다고 말합니다.
그래서 시작됩니다. 첫 번째 세트는 무의미함입니다. (정말!) 하지만 생각 아무것도 아니다 어떤 것. 만약 우리가 하나의 것, 즉 무(無)를 포함하는 집합을 식별한다면, 우리는 이제 무(無)보다 더 큰 집합을 가지게 되고, 이것이 숫자 1을 정의할 수 있는 방법입니다. 이렇게 해서 하나의 수학적 것에서 다른 것으로 어떻게 이동하는지에 대한 규칙이 정의되고, 논리의 규칙이 수학의 알려진 우주 전체를 구축합니다.
당시 수학계는 이를 환상적인 발전으로 여겼습니다. 인간의 이해에 어떤 의미가 있는지에 대한 논쟁이 격화되었습니다. 예를 들어, 모든 수학적 진실이 기본 원리와 논리적 규칙을 사용하여 생성될 수 있다면, 왜 수학자가 필요할까요? 컴퓨터(개발되면)는 무에서 새로운 정리를 만들어내며 맹목적으로 전진할 수 있습니다. 수학이 자연의 언어라고 믿는다면, 이는 자연의 모든 신비를 밝혀내는 기계적인 방법을 제공할 것입니다.
수학의 기본에 대한 꿈은 10년 반 동안 지속되었지만, 그 꿈은 체코의 한 젊은 수학자에 의해 영원히 산산이 조각났습니다. 커트 고델. 1930년에 괴델은 다음 사실을 명확하게 보여주는 증명을 제시했습니다. 공국 수학 였다 불완전한. 그가 말한 내용의 요점은 다음과 같습니다. 어떤 공식 시스템:
증명할 수 없는 사실도 있습니다.
놀랍게도, 괴델은 이 주장을 다음과 같이 증명했습니다. 구조. 이것은 그가 실제로 규칙을 사용하여 보여주었다는 것을 의미합니다. 공국 수학 그는 그런 진술을 만들어낼 수 있었습니다. 사실이지만 규칙으로는 증명할 수 없는 진술이었습니다. 그는 어떻게 그런 것을 만들어냈을까요?
그는 Principia의 포괄적인 목적을 다음과 같이 공격했습니다. 논리학의 독창적인 새로운 방법. 그는 각 진실에 숫자를 연관시켰고, 각 논리적 규칙에 진실 숫자에서 다른 진실 숫자로 가는 방법을 연관시켰습니다. 각 단계는 또한 숫자와 연관시켰습니다. 그런 다음 숫자를 서로 대조하여 새로운 숫자를 만들었는데, 이는 진실 숫자여야 했지만 다른 숫자로는 도달할 수 없었습니다.
숫자가 진술이자 지시 단계이기도 한 이 재귀적 메커니즘이 이 계시를 영감을 주었습니다. 그래서 그는 틀 안에서 참인 진술에 해당하는 숫자가 있다는 것을 발견했습니다. 프린 시아, 하지만 진리값을 생성하는 규칙으로 증명할 수는 없습니다.
괴델은 단 한 번의 타격으로 러셀과 화이트헤드, 그리고 근본적 진실의 열반을 추구하던 수많은 다른 논리학자들이 이룬 연구를 파괴했습니다. 이 열반은 수학 전반을 구축하고 나아가 물리적 우주에 대한 우리의 이해를 넓혀주었습니다.
본질적으로 그는 논리와 숫자의 힘을 자기 자신에게 대항하여 사용했습니다.
이건 중요하다.
수학자로서 무엇을 했든, 어떤 모델을 만들었든, 기본 가정과 규칙을 아무리 신중하게 정의했든, 연구하고자 하는 주제를 완전히 이해할 수는 없습니다.
괴델의 작업은 수학의 영역에서만 존재합니다. 그것은 수학과 교차하는 곳을 제외하고는 과학이나 인간 영역에서 아무것도 증명하지 않습니다. 그러나 그것은 우리 삶에서 실제적인 결정에 정보를 제공할 수 있습니다.
우리는 끊임없이 전문가들이 우리에게 제시하는 아이디어를 통해 삶의 방식과 믿음을 보여줍니다. 그것들은 모두 합리성과 논리에 기반을 둔 모델입니다. 이러한 아이디어는 끝으로 제시됩니다. 마치 다른 진실이 없는 것처럼 제시됩니다. 괴델은 자연에 대한 이러한 기계론적 관점이 논리의 가장 기본적인 검토에 견뎌내지 못한다는 것을 보여주었습니다.
인간의 진실이 있습니다.
영적인 진실이 있습니다.
우주에는 우리가 이해할 수 없는 더 깊은 진실이 존재합니다.
정치인이나 권위자, 심지어 친구가 모든 것이 알려져 있다고, 진실을 정의하는 모델이 있다고, 그 모델을 따르면 미래가 알려질 것이라고 말할 때마다 회의적이 되십시오. 인간의 이해를 넘어서는 신비가 있으며, 인간의 가장 깊은 논리적 추론도 피할 수 없습니다.
그리고 그것은 한 남자에 의해 증명되었습니다.
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